GARCH e EWMA 21 maggio 2010 dal David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: confronta, contrasto e calcolare approcci parametrici e non parametrici per la stima della volatilità condizionale 8230 compreso: GARCH APPROCCIO Tra cui: livellamento esponenziale (EWMA) livellamento esponenziale (parametrica condizionale) I metodi moderni posto più peso sulle informazioni recenti. Sia EWMA e GARCH luogo più peso su informazioni recenti. Inoltre, come è EWMA un caso particolare di GARCH, sia EWMA e GARCH impiegano livellamento esponenziale. GARCH (p, q), in particolare GARCH (1, 1) GARCH (p, q) è un modello autoregressivo eteroschedastico condizionale generale. Gli aspetti chiave sono: Autoregressive (AR). tomorrow8217s varianza (o volatilità) è una funzione di regressione variance8212it today8217s regredisce su se stessa condizionale (C). varianza tomorrow8217s depends8212is on8212the condizionale più recente varianza. Una varianza incondizionata non dipenderebbe today8217s varianza eteroschedastico (H). varianze non sono costanti, ma di flusso nel tempo GARCH regredisce sul 8220lagged8221 o storici termini. I termini ritardati sono o varianza o ritorna quadrati. L'(p, q) modello GARCH generica regredisce in (p) al quadrato i rendimenti e (q) varianze. Pertanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 o regredisce allo scorso period8217s ritorno al quadrato (cioè solo 1 ritorno) e ultima varianza period8217s (cioè solo 1 varianza). GARCH (1, 1) dato dalla seguente equazione. Lo stesso GARCH (1, 1) formula può essere dato con parametri greci: Hull scrive la stessa equazione GARCH come: Il primo termine (GVL) è importante perché VL è la varianza media di lungo periodo. Pertanto, (GVL) è un prodotto: è la varianza media di lungo periodo ponderato. Il GARCH (1, 1) il modello risolve per la varianza condizionata in funzione di tre variabili (precedente varianza, return2 precedente e varianza di lungo periodo): La persistenza è una caratteristica integrata nel modello GARCH. Suggerimento: Nelle formule di cui sopra, la persistenza è (b c) o (alfa-1 beta). Persistenza si riferisce a quanto velocemente (o lentamente) la varianza ritorna o 8220decays8221 verso la sua media di lungo periodo. Alta la persistenza equivale a rallentare il decadimento e lento 8220regression verso le mean8221 bassa persistenza, equivale al rapido decadimento e 8220reversion rapido al mean.8221 una persistenza di 1,0 implica alcun mean reversion. Una persistenza di meno di 1,0 implica 8220reversion alla media, 8221 dove una persistenza minore implica una maggiore regressione alla media. Suggerimento: Come sopra, la somma dei pesi assegnati alla varianza lag e ritardato il ritorno al quadrato è la persistenza (bc persistenza). Un alto persistenza (maggiore di zero, ma inferiore a uno) implica lento ritorno alla media. Ma se i pesi assegnati alla varianza lag e ritorno quadrata ritardata sono maggiore di uno, il modello è non stazionaria. Se (bc) è maggiore di 1 (se bc gt 1) il modello è non stazionario e, secondo Hull, instabile. In tal caso, EWMA è preferito. Linda Allen dice di GARCH (1, 1): GARCH è sia 8220compact8221 (cioè relativamente semplice) e notevolmente accurata. modelli GARCH predominano nella ricerca scientifica. Molte variazioni del modello GARCH sono state tentate, ma pochi hanno migliorato sull'originale. Lo svantaggio del modello GARCH è la sua non linearità sic Per esempio: risolvere per lungo periodo varianza GARCH (1,1) Si consideri il GARCH (1, 1) seguente equazione: Si supponga che: il parametro alpha 0.2, il parametro beta 0.7, e noti che Omega è di 0,2 ma don8217t errore omega (0,2) per la varianza di lungo periodo Omega è il prodotto della gamma e la varianza di lungo periodo. Quindi, se alpha beta 0.9, quindi gamma deve essere 0.1. Dato che Omega è 0.2, sappiamo che la varianza di lungo periodo deve essere 2.0 (0,2 184 0,1 2.0). GARCH (1,1): semplice differenza tra la notazione Hull e Allen EWMA è un caso speciale di GARCH (1,1) e GARCH (1,1) è un caso generalizzato di EWMA. La differenza saliente è che GARCH include il termine supplementare per mean reversion e EWMA manca di un mean reversion. Ecco come si ottiene da GARCH (1,1) per EWMA: Allora lasciamo uno 0 e (bc) 1, in modo tale che l'equazione precedente si semplifica in: Questo è ora equivalente alla formula per esponenzialmente ponderata media mobile (EWMA): in EWMA, il parametro lambda determina la 8220decay: 8221 un lambda che è vicino a uno (alto lambda) presenta lento decadimento. I RiskMetrics RiskMetricsTM approccio è una forma di marca dell'approccio esponenzialmente ponderata media mobile (EWMA): L'ottimale (teorica) lambda varia per asset class, ma il parametro ottimale complessiva utilizzata da RiskMetrics è stato 0.94. In pratica, RiskMetrics utilizza solo un fattore di decadimento per tutte le serie: 183 0,94 per dati giornalieri 183 0,97 per i dati mensili (mese definiti come 25 giorni di negoziazione) Tecnicamente, i modelli giornaliere e mensili sono inconsistenti. Tuttavia, essi sono sia facile da usare, che approssimano il comportamento dei dati effettivi abbastanza bene, e sono robusti per incorretta. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics sono ogni parametrici e ricorsivo. Ricorsive Vantaggi e svantaggi di EWMA MA (cioè STDEV) vs. sintesi GARCH grafica dei metodi parametrici che assegnano un peso maggiore ai rendimenti recenti (GARCH amp EWMA) Sommario Punte: GARCH (1, 1) è generalizzata RiskMetrics e, viceversa, RiskMetrics è caso ristretto di GARCH (1,1) dove a 0 e (BC) 1. GARCH (1, 1) è data da: I tre parametri sono pesi e pertanto devono sommano a uno: Suggerimento: fare attenzione al primo termine nel GARCH (1, 1) l'equazione: omega () gamma () (varianza di lungo periodo medio). Se viene richiesto per la varianza, potrebbe essere necessario dividere il peso per calcolare la varianza media. Determinare quando e se un modello GARCH o EWMA deve essere usato in volatilità stima In pratica, i tassi di varianza tendono ad essere media ritornare quindi, il GARCH (1, 1) il modello è teoricamente superiore (8220more attraente than8221) per il modello EWMA. Ricordate, that8217s la grande differenza: GARCH aggiunge il parametro che pesi la media di lungo periodo e quindi incorpora mean reversion. Tip: GARCH (1, 1) è preferito se il primo parametro è negativo (che è implicito se alpha beta gt 1). In questo caso, GARCH (1,1) è instabile e EWMA è preferito. Spiegare come le stime GARCH in grado di fornire previsioni che sono più accurate. La media mobile calcola la varianza sulla base di una finestra di uscita di osservazioni esempio i precedenti dieci giorni, i precedenti 100 giorni. Ci sono due problemi con media mobile (MA): funzione ghosting: volatility shocks (aumenti improvvisi) sono bruscamente incorporato nel MA metrica e poi, quando passa la finestra di uscita, sono bruscamente sceso dal calcolo. A causa di questo la metrica MA si sposterà in relazione alla scelta informazioni lunghezza della finestra Trend stime GARCH non incorporati migliorano queste carenze due modi: osservazioni più recenti sono assegnati i pesi maggiori. Questo supera ghosting perché uno shock volatilità immediatamente un impatto sulla stima, ma la sua influenza svanirà gradualmente col passare del tempo si aggiunge un termine per integrare reversione alla media Spiegare come la persistenza è legata alla regressione verso la media. Dato il GARCH (1, 1) equazione: Persistenza è data da: GARCH (1, 1) è instabile se la persistenza gt 1. persistenza di 1,0 indica nessuna reversione media. Una persistenza basso (ad esempio 0,6) indica rapido decadimento e di alta reversione alla media. Tip: GARCH (1, 1) ha tre pesi assegnati a tre fattori. Persistenza è la somma dei pesi assegnati sia la varianza lag e ritardati ritorno quadrata. L'altro peso è assegnato alla varianza di lungo periodo. Se P persistenza e il peso G assegnati a varianza di lungo periodo, quindi PG 1. Pertanto, se P (persistenza) è alto, allora G (mean reversion) è bassa: la serie persistente non è dire con forza tornando essa presenta 8220slow decay8221 verso la significare. Se P è basso, allora G deve essere alto: la serie impersistent non significano fortemente ritornare essa presenta 8220rapid decay8221 verso la media. La media, varianza incondizionata nel GARCH (1, 1) il modello è data da: Spiegare come EWMA sconta sistematicamente i dati più vecchi, e identificare il RiskMetrics174 quotidiana e fattori di decadimento mensili. Il ponderata esponenzialmente media mobile (EWMA) è data da: La formula sopra è una semplificazione ricorsiva della serie 8220true8221 EWMA che è dato da: Nella serie EWMA, ciascun peso assegnato ai rendimenti squadrati è un rapporto costante del peso precedente. In particolare, lambda (l) è il rapporto tra i pesi adiacenti. In questo modo, i dati più vecchi è scontato in modo sistematico. La riduzione sistematica può essere graduale (lento) o improvviso, a seconda lambda. Se lambda è elevata (ad esempio 0.99), allora l'attualizzazione è molto graduale. Se lambda è basso (ad esempio 0,7), l'attualizzazione è più brusco. I fattori di decadimento RiskMetrics TM: 0,94 per dati giornalieri 0.97 per i dati mensili (mese definiti come 25 giorni di mercato aperto) spiegare perché le correlazioni di previsione possono essere più importanti di previsione volatilità. Quando si misura il rischio di portafoglio, le correlazioni possono essere più importanti individuale volatilityvariance strumento. Pertanto, per quanto riguarda il rischio di portafoglio, una previsione di correlazione può essere più importante di singole previsioni di volatilità. Utilizzare GARCH (1, 1) per prevedere la volatilità Il futuro tasso di varianza atteso, a (t) i periodi in avanti, è dato da: Per esempio, si supponga che una stima della volatilità attuale (periodo n) è dato dalla seguente GARCH (1, 1 ) equazione: In questo esempio, alfa è il peso (0,1) assegnato al ritorno quadrata precedente (il ritorno precedente era 4), beta è il peso (0,7) assegnato alla varianza precedente (0,0016). Qual è la volatilità futura attesa, in dieci giorni (n = 10) In primo luogo, risolvere per la varianza di lungo periodo. Non è 0,00008 questo termine è il prodotto della varianza e il suo peso. Dal momento che il peso deve essere 0.2 (1-0,1 -0.7), la varianza di lungo periodo 0,0004. In secondo luogo, abbiamo bisogno la varianza corrente (periodo di n). Che è quasi dato a noi sopra: Ora possiamo applicare la formula per risolvere per il tasso di varianza futuro atteso: Questo è il tasso di varianza atteso, per cui la volatilità attesa è di circa 2.24. Si noti come funziona: la volatilità attuale è di circa 3.69 e la volatilità di lungo periodo è pari a 2. La proiezione in avanti di 10 giorni 8220fades8221 l'attuale tasso più vicino al tasso di lungo periodo. Volatilità non parametrica ForecastingExploring esponenziale Weighted Moving volatilità media è la misura più comune del rischio, ma si tratta in diversi sapori. In un precedente articolo, abbiamo mostrato come calcolare semplice volatilità storica. (Per leggere questo articolo, vedere Uso volatilità per valutare i rischi futuri.) Abbiamo usato Googles dati effettivi di prezzo delle azioni al fine di calcolare la volatilità giornaliera sulla base di 30 giorni di dati di stock. In questo articolo, miglioreremo il semplice volatilità e discutere la media mobile esponenziale ponderata (EWMA). Vs. Storico La volatilità implicita In primo luogo, consente di mettere questa metrica in un po 'di prospettiva. Ci sono due approcci: volatilità storica e implicita (o implicite). L'approccio storico presuppone che passato è prologo misuriamo la storia nella speranza che sia predittiva. La volatilità implicita, d'altra parte, ignora la storia si risolve per la volatilità implicita dai prezzi di mercato. Si spera che il mercato conosce meglio e che il prezzo di mercato contiene, anche se implicitamente, una stima di consenso di volatilità. (Per la lettura correlate, vedere gli usi e limiti di volatilità.) Se ci concentriamo solo su tre approcci storici (il alto a sinistra), hanno due punti in comune: Calcolare la serie di rendimenti periodici applicare uno schema di ponderazione In primo luogo, calcolare il ritorno periodico. Questo è in genere una serie di rendimenti giornalieri in cui ogni ritorno è espresso in termini di continuo composte. Per ogni giorno, prendiamo il logaritmo naturale del rapporto tra i prezzi delle azioni (cioè prezzo oggi divisi per prezzo di ieri, e così via). Questo produce una serie di rendimenti giornalieri, da u i u i-m. a seconda di quanti giorni (m giorni) stiamo misurando. Questo ci arriva al secondo passo: E 'qui che i tre approcci differenti. Nel precedente articolo (Utilizzo di volatilità per valutare rischio futuro), abbiamo dimostrato che in un paio di semplificazioni accettabili, la semplice varianza è la media dei rendimenti al quadrato: Si noti che questo riassume ciascuna delle dichiarazioni periodiche, poi divide che totale da parte del numero di giorni o osservazioni (m). Così, la sua realtà solo una media delle dichiarazioni periodiche squadrati. In altre parole, ogni ritorno quadrato viene dato un peso uguale. Quindi, se alfa (a) è un fattore di ponderazione (in particolare, un 1m), quindi un semplice scostamento simile a questa: Il EWMA migliora semplice varianza La debolezza di questo approccio è che tutti i ritorni guadagnano lo stesso peso. Yesterdays (molto recente) di ritorno non ha più influenza sulla varianza rispetto allo scorso mese di ritorno. Questo problema viene risolto utilizzando la media ponderata esponenzialmente movimento (EWMA), in cui i ritorni più recenti hanno un peso maggiore sulla varianza. La media mobile esponenziale ponderata (EWMA) introduce lambda. che è chiamato il parametro smoothing. Lambda deve essere inferiore a uno. In tale condizione, invece di pesi uguali, ogni ritorno quadrato è ponderato con un moltiplicatore come segue: Per esempio, RiskMetrics TM, una società finanziaria gestione del rischio, tende ad usare un lambda di 0,94 o 94. In questo caso, il primo ( più recente) al quadrato ritorno periodico è ponderato in base (1-0,94) (. 94) 0 6. il prossimo ritorno quadrato è semplicemente un lambda-multiplo del peso prima, in questo caso 6 moltiplicato per 94 5.64. E il terzo giorni precedenti peso uguale (1-0,94) (0,94) 2 5.30. Quello sensi esponenziale EWMA: ciascun peso è un moltiplicatore costante (cioè lambda, che deve essere inferiore a uno) della prima peso giorni. Questo assicura una varianza che viene ponderato o sbilanciata verso i dati più recenti. (Per ulteriori informazioni, controllare il foglio di lavoro Excel per Googles volatilità.) La differenza tra semplicemente volatilità e EWMA per Google è indicato di seguito. La volatilità semplice pesa in modo efficace ogni ritorno periodico da 0.196 come mostrato nella colonna O (abbiamo avuto due anni di dati di prezzo delle azioni quotidiane. Cioè 509 rendimenti giornalieri e il 1509 0.196). Ma si noti che Colonna P assegna un peso di 6, poi 5,64, quindi 5.3 e così via. Quello è l'unica differenza tra semplice varianza e EWMA. Ricorda: Dopo sommiamo l'intera serie (in Q colonna) abbiamo la varianza, che è il quadrato della deviazione standard. Se vogliamo la volatilità, abbiamo bisogno di ricordare di prendere la radice quadrata di tale varianza. Che cosa è la differenza di volatilità giornaliera tra la varianza e EWMA in caso Googles suo significativo: La semplice varianza ci ha dato una volatilità giornaliera di 2,4 ma il EWMA ha dato una volatilità giornaliera di soli 1.4 (vedere il foglio di calcolo per i dettagli). A quanto pare, Googles volatilità si stabilì più di recente, pertanto, una semplice variazione potrebbe essere artificialmente alto. Di oggi Variance è una funzione di preavviso Pior giorni Varianza Youll abbiamo bisogno di calcolare una lunga serie di pesi in modo esponenziale in declino. Abbiamo solito facciamo la matematica qui, ma una delle migliori caratteristiche del EWMA è che l'intera serie riduce convenientemente ad una formula ricorsiva: ricorsivo significa che i riferimenti varianza di oggi (cioè è una funzione del giorni prima varianza). È possibile trovare questa formula nel foglio di calcolo anche, e produce lo stesso risultato esatto come il calcolo longhand Dice: varianza di oggi (sotto EWMA) uguale varianza di ieri (ponderato per lambda) più il rendimento di ieri al quadrato (pesato da una lambda meno). Si noti come stiamo solo aggiungendo due termini insieme: ieri varianza ponderata e ieri ponderati, al quadrato di ritorno. Anche così, lambda è il nostro parametro smoothing. Un lambda più alto (ad esempio, come RiskMetrics 94) indica più lento decadimento della serie - in termini relativi, stiamo per avere più punti di dati nella serie e che stanno per cadere più lentamente. D'altra parte, se riduciamo lambda, indichiamo superiore decadimento: i pesi cadere fuori più rapidamente e, come risultato diretto del rapido decadimento, meno punti dati sono usati. (Nel foglio di calcolo, lambda è un ingresso, in modo da poter sperimentare con la sua sensibilità). Riassunto La volatilità è la deviazione standard istantanea di un magazzino e la metrica di rischio più comune. È anche la radice quadrata della varianza. Siamo in grado di misurare la varianza storicamente o implicitamente (volatilità implicita). Quando si misura storicamente, il metodo più semplice è semplice varianza. Ma la debolezza con una semplice varianza è tutti i ritorni ottenere lo stesso peso. Quindi ci troviamo di fronte un classico trade-off: vogliamo sempre più dati ma più dati che abbiamo più il nostro calcolo è diluito da dati lontani (meno rilevanti). La media mobile esponenziale ponderata (EWMA) migliora semplice varianza assegnando pesi alle dichiarazioni periodiche. In questo modo, siamo in grado di utilizzare una dimensione sia grande campione, ma anche dare maggior peso ai rendimenti più recenti. (Per visualizzare un tutorial film su questo argomento, visitare il Bionic Turtle.) Beta è una misura della volatilità o rischio sistematico, di un titolo o di un portafoglio rispetto al mercato nel suo complesso. Un tipo di imposta riscossa sulle plusvalenze sostenute da individui e aziende. Le plusvalenze sono i profitti che un investitore. Un ordine per l'acquisto di un titolo pari o inferiore a un determinato prezzo. Un ordine di acquisto limite consente agli operatori e agli investitori di specificare. Un Internal Revenue Service (IRS) regola che consente per i prelievi senza penalità da un account IRA. La regola prevede che. La prima vendita di azioni da una società privata al pubblico. IPO sono spesso emesse da piccole, le aziende più giovani che cercano la. Rapporto DebtEquity è rapporto debito utilizzato per misurare una leva finanziaria company039s o un rapporto debito utilizzato per misurare un approccio individual. The EWMA ha una caratteristica interessante: essa richiede dati relativamente poco memorizzati. Per aggiornare la nostra stima in qualsiasi momento, abbiamo solo bisogno di una stima preliminare del tasso di varianza e il valore di osservazione più recente. Un obiettivo secondario di EWMA è quello di tenere traccia delle modifiche della volatilità. Per piccoli valori, recenti osservazioni influenzano la stima prontamente. Per i valori più vicini ad uno, i cambiamenti di stima lentamente sulla base di recenti cambiamenti nei rendimenti del sottostante. Il database RiskMetrics (prodotto da JP Morgan e reso pubblico disponibile) utilizza l'EWMA con per l'aggiornamento volatilità giornaliera. IMPORTANTE: La formula EWMA non assume un livello di scostamento medio lungo periodo. Così, il concetto di volatilità significa reversione non viene catturata dal EWMA. I modelli ARCHGARCH sono più adatti per questo scopo. Un obiettivo secondario di EWMA è quello di tenere traccia delle modifiche della volatilità, quindi per piccoli valori, recente osservazione influenza la stima prontamente, e per i valori più vicini a uno, la stima cambia lentamente ai recenti cambiamenti nei rendimenti del sottostante. Il database RiskMetrics (prodotto da JP Morgan) e reso pubblico a disposizione nel 1994, utilizza il modello EWMA con per l'aggiornamento stima della volatilità giornaliera. L'azienda ha trovato che in una serie di variabili di mercato, il valore di dà previsione della varianza che più si avvicinano al tasso di varianza realizzata. I tassi di varianza realizzati in un particolare giorno è stato calcolato come media altrettanto ponderato sui successivi 25 giorni. Analogamente, per calcolare il valore ottimale di lambda per il nostro insieme di dati, è necessario calcolare la volatilità realizzata in ogni punto. Ci sono diversi metodi, in modo da scegliere uno. Quindi, calcolare la somma degli errori al quadrato (SSE) tra stima EWMA e volatilità realizzata. Infine, minimizzare la SSE variando il valore lambda. Sembra semplice È. La sfida più grande è quello di concordare su un algoritmo per calcolare volatilità realizzata. Per esempio, la gente di RiskMetrics scelto il successivo di 25 giorni per calcolare tasso di varianza realizzata. Nel tuo caso, si può scegliere un algoritmo che utilizza Volume giornaliero, Hilo eo prezzi OPEN-CLOSE. Q 1: Possiamo usare EWMA per stimare (o previsione) della volatilità più di un passo avanti La rappresentazione volatilità EWMA non assume una volatilità media di lungo periodo, e quindi, per qualsiasi orizzonte di previsione al di là di uno stadio, il EWMA restituisce una costante valore: calcolare la volatilità storica Utilizzando EWMA la volatilità è la misura più comunemente usata di rischio. Volatilità in questo senso può essere sia volatilità storica (quella osservata dai dati passato), oppure potrebbe volatilità implicita La volatilità storica può essere calcolato in tre modi, vale a dire (osservata dai prezzi di mercato di strumenti finanziari.): La volatilità semplice, esponenziale mobile ponderata medio (EWMA) GARCH Uno dei principali vantaggi di EWMA è che dà più peso ai recenti rendimenti durante il calcolo dei rendimenti. In questo articolo, vedremo come la volatilità è calcolato utilizzando EWMA. Quindi, consente di iniziare: Fase 1: Calcolare i rendimenti di registro della serie prezzo Se stiamo guardando i prezzi delle azioni, possiamo calcolare i rendimenti lognormali quotidiane, utilizzando la formula ln (P i P i -1), dove P rappresenta ogni giorni di chiusura prezzo del titolo. Dobbiamo usare il logaritmo naturale perché vogliamo i rendimenti siano continuamente aggravati. Ora avremo rendimenti giornalieri per l'intera serie di prezzi. Fase 2: Piazza dei rendimenti Il passo successivo è il prendere la piazza di rendimenti a lungo. Questo è in realtà il calcolo di semplice varianza o volatilità rappresentato dalla seguente formula: Qui, u rappresenta i rendimenti, ed m rappresenta il numero di giorni. Fase 3: pesi Assegnare assegnare un peso tale che i rendimenti più recenti hanno un peso superiore e ritorna più anziani hanno un peso minore. Per questo occorre un fattore chiamato Lambda (), che è una lisciatura costante o il parametro persistente. I pesi sono assegnati come (1-) 0. Lambda deve essere inferiore a 1. metrica Risk utilizza lambda 94. Il primo peso sarà (1-0,94) 6, il secondo peso sarà 60.94 5.64 e così via. In EWMA tutti i pesi sommano a 1, tuttavia essi sono in declino con un rapporto costante di. Fase 4: moltiplicare ritorni-quadro con i pesi Passo 5: Prendere la somma di R 2 w Questa è la varianza EWMA finale. La volatilità sarà la radice quadrata della varianza. La seguente schermata mostra i calcoli. L'esempio di cui sopra che abbiamo visto è l'approccio descritto da RiskMetrics. La forma generalizzata di EWMA può essere rappresentata come la seguente formula ricorsiva:
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